主动投资管理

第二部分-预期收益率和估值

第七章 预期收益率和套利定价理论

套利定价理论（APT）是资本资产定价模型（CAPM）在预测预期收益率上的一个有趣而强力的替代选择。本章将介绍APT，并着重讨论它对主动投资经理的意义。本章的结论是：

  • APT是生成预期收益率的模型。
  • APT的应用是一种艺术，而非科学。
  • APT引导量化投资经理去关注因子和预期收益率之间的关系。
  • APT因子有多种定义方式，例如基本面因子、技术分析因子，宏观因子等。
  • APT的灵活性使它不适合作为一致预期收益率的模型，但它适合投资经理生成自己的预期收益率。
  • APT是主动投资经理的一个信息来源。它应当是灵活多样的，如果所有主动投资经理分享同样的信息，它就失去价值了。

APT认为每只股票的预期超额收益率由股票的因子暴露决定。预期超额收益率和股票因子暴露之间的关系由式（7-2）给出。每个因子都有一个权重（称为因子预测），而股票的预期超额收益率恰等于它的每个因子暴露与相应因子预测的乘积的总和。

APT理论并没有说明这些因子是什么，怎样计算一只股票对因子的暴露度，以及线性组合中的权重（因子预测）是多少。这就是艺术开始取代科学的地方。

7.1 CAPM的缺点

CAPM基于如下观念：市场组合不仅是均值/方差有效的，并且还是具有最高夏普率（预期超额收益率与波动率的比值）的全额投资组合。在实践中，该理论还被用来说明常用宽基股票指数是有效的；例如美国的标普500指数，英国的FTA指数和日本的TSE1指数。

首先，并不存在CAPM所假设的全部市场概念，实践中的市场往往是全部市场的一个子集。CAPM的其他所有基本假设（均值/方差偏好、相同的预期收益率和方差、无税收与交易成本、无股票持仓限制等）也都受到怀疑。其中最具争议的是CAPM假设了每位市场参与者都知道所有股票的预期超额收益率。

但至少CAPM的方向是对的，第一步要获得预期超额收益率。

然而，在某些历史时期中，CAPM预测的预期超额收益率出现了系统性的缺陷。

7.2 套利定价理论APT

APT给超额收益率设定了一个多因子模型。它假设存在K个因子使得超额收益率可以被表达为：

rn=Σk=1KXn,k⋅bk+ukr_n = \Sigma^K_{k=1}X_{n,k} \cdot b_k + u_k (7-1)

式中　Xn,kX_{n,k}——股票n对因子k的暴露度（exposure of stock n to factor k）。暴露度经常被称为因子载荷（factor loading）。为了能够在实践中使用，我们假设暴露度能够在收益率考察期之前获知；

bkb_k ——因子k的因子收益率（factor return for factor k）。因子收益率或是在考察期末被归因到因子上，或是直接在考察期上被观测到；

unu_n ——股票n的特异收益率（stock n’s specific return），即收益率中不能被因子解释的部分。有时它被称为股票的奇异收益率（idiosyncratic return）

APT是关于预期超额收益率的。其主要结论就是：预期超额收益率可以用一组因子的暴露度来表达。APT中预期超额收益率的表达式为：

fn=E{rn}=Σk=1KXn,k⋅mkf_n = E\{r_n\} = \Sigma^K_{k=1}X_{n,k} \cdot m_k (7-2)

式中，mkm_k 是因子k的因子预测。APT称正确的因子预测是存在的，但它并没有说如何找到它们。

APT认为任何股票的预期超额收益率都由该股票的因子暴露度以及每个因子的预测决定。

7.3 组合Q和APT

我们可以选择任意一组感兴趣的股票做样本空间。对任意N只股票，都存在由这N只股票构成的全部投资组合的有效前沿。图7-3展示了有效前沿的一个典型例子。

对每一个投资组合，我们都为之确定一个风险，即其收益率的标准差；同时为之确定一个报酬，以其预期超额收益率衡量。图7-3中的组合Q具有最高的报酬-风险比率（夏普率）。

只要知道组合Q的信息，就足以计算出所有预期收益率。组合Q扮演了CAPM中市场组合的角色。事实上，CAPM的另一种说法就是组合Q就是市场组合。

因此，任何股票的预期超额收益率都正比于该股票对组合Q的贝塔值。

我们在这里需要区分两个问题。第一个问题是定义一个合格的模型，第二个问题是找到一组正确的因子预测。一个多因子模型（如式（7-1））被称为是合格的，如果可以找到一组因子预测m（k）使得式（7-2）成立。即使我们建立了合格的模型，我们仍需找出正确的因子预测m（k）。

7.4 简单的部分：找到合适的模型

rn=Σk=1KXn,k⋅bk+ukr_n = \Sigma^K_{k=1}X_{n,k} \cdot b_k + u_k (7-1) fn=E{rn}=Σk=1KXn,k⋅mkf_n = E\{r_n\} = \Sigma^K_{k=1}X_{n,k} \cdot m_k (7-2)

一个如式（7-1）描述的因子模型被称为合格的，即存在一组因子预测mkm_k 使式（7-2）成立，当且仅当组合Q相对于该因子模型充分分散 。相对于一个因子模型充分分散的意思是：在所有与组合Q具有相同因子暴露的组合中，组合Q具有最低风险；没有其他具有相同因子暴露的组合具有比Q更低的风险。

一个前沿组合（例如组合Q）从其定义来看应该是高度分散化的。组合Q应当包含全部股票，并且不会在某只股票上持有特别大的权重；因此它相对于这个多因子模型充分分散。常识告诉我们：任何能够捕获股票之间重要表现差异的多因子模型都应该是合格的。

任何能够很好地解释高度分散化组合的风险的因子模型都应该是（近似）合格的APT模型。

在建立合格的因子模型的过程中，因子组的精确确定可能并不重要；重要的是模型因子要足以捕获资产在重要维度上的行为差异。

7.5 困难的部分：因子预测

任何合乎情理的稳健的形如式（7-1）的风险模型都应该是合格的。下一步是找到式（7-2）中每个因子的预期超额收益率mkm_k.

预测mkm_k 最简单的办法就是计算因子收益率的历史序列，然后取平均值。这是历史效果最好的预测——但它是回顾而非预测。如果我们认为历史平均值能够预测未来，这就暗示着我们假设了市场具有某种静态性。虽然APT没为这个假设提供证据，但这也是一种可能有效的方法。一个并非由于APT而关注因子的原因就是：因子关系比股票关系更稳定。

7.6 模型应用

两位同样渊博的学者独立开发APT将得到不同的实例。这里我们给出了六个例子。它们分属于两大类：结构化模型和统计模型。

结构化模型假设特定变量之间具有某种关系。这些变量可以是宏观经济的（非预期通胀、利率变动）、基本面的（盈利增长、净资产回报率、市场份额）或是与市场相关的（贝塔、行业归属）。各种类型的变量可以被同时用在一个模型中。实践者偏好使用结构化模型，因为这些模型使他们能够将因子与特定变量联系起来，从而使模型匹配其投资经验和投资直觉。

统计模型则对收益率进行研究。学术界建立APT模型以检验关于市场有效性的各种假设以及CAPM的效力。学术界倾向于使用纯粹的统计模型，因为这样可以避免模型受到他们的主观判断的影响。

结构化模型1：给定暴露度，估计因子收益率

第3章“风险”中详细描述的BARRA模型就可以用作一个APT模型。如前文所述，它是一个合格的APT模型，并且其预测难度与预测BARRA因子收益率的难度等同。BARRA模型中因子暴露度基于股票的当前特征，例如盈利率和相对规模，并且是给定的；而因子收益率是估计出来的。

结构化模型2：给定因子收益率，估计暴露度

在这种模型中，因子收益率是给定的。例如，我们以下列变量作为因子收益率：纽约股票交易所价值加权指数（New York Stock Exchange，NYSE）、黄金、某种政府债券指数、一篮子外汇和一篮子交易商品。设每只股票对NYSE的暴露度均为1。对其他因子，我们用股票收益率与NYSE收益率之差对这些因子做回归，所得回归系数即为股票对这些因子的历史暴露度。

因子预测就是对未来因子收益率的预测值。注意：我们希望估计出的因子暴露度在长期是稳定的。

结构化模型3：结构化模型1和2的结合

有时我们不可避免地混合使用结构化模型1和2：从一组原始的因子定义开始，如结构化模型2中那样估计股票的因子暴露度，然后如结构化模型1中那样为每个因子重新进行收益率归因。

统计模型1：主成分分析

考察一些股票或股票组合在数个月上的收益率，例如50只股票在200个月上的收益率。计算这些股票在200个历史月份上实现收益率的50×50的协方差矩阵。对这个50×50协方差矩阵做主成分分析，典型的结果是前20个主成分解释了90%以上的风险。把这20个主成分视为20个因子，则这些因子是纯粹的统计构造产物。

主成分分析将告诉我们这50只股票对这些因子的暴露度。它还给出这些因子在200个月上的因子收益率，而这些因子收益率是互不相关的。我们还可以通过用股票收益率对因子收益率回归确定其他股票（原始的50只之外的）对这些因子的暴露度。回归系数将衡量股票对因子的暴露度。此时因子收益率之间互不相关的性质将非常有用。为了实现这个模型，我们需要获得因子预测mkm_k 。一个最简单的预测就是因子收益率的历史平均值，而它也可能是唯一可能的预测：因子的构造是抽象的，因此很难评价一个异于历史均值的预测值的优劣。

统计模型2：最大似然因子分析

这里我们利用60个月的数据对式（7-1）进行最大似然估计。为了使其可行，我们假设股票暴露X n，k 在这段时长5年的时期上是恒定的。假设对500只股票60个月的数据应用这种方法，并且试图找出10个因子，那么我们将使用500×60=30000个收益率来估计500×10=5000个暴露度和60×10=600个因子收益率。

统计模型3：统计模型2的对偶

这是一种相当有想象力的方法。详细描述十分困难，但是可以参见Connor和Korajczyk（1988）。当我们观察N只股票在T个时段上的收益率时，N常常远大于T。此时我们不再采用对N×N的历史收益率协方差矩阵进行主成分分析的方法，而是考察T×T的协方差矩阵。这种分析互换了因子暴露度和因子收益率的角色！

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